解決方法

WebViewにheadersを加えます。
headersに設定するrefererの値はアプリごとに変わりますので、下のセクションを見てください！

<WebView
  source={{
    uri: url,
    headers: {
      Referer: 'https://com.exmaple',
    },
  }}
/>

<WebView
  source={{
    uri: url,
    headers: {
      Referer: 'https://com.exmaple',
    },
  }}
/>

Refererに設定する値

Refererに設定する値は「’https://’ + {app id}」です。app idの確認方法はこちらに記載しています！

エラーの理由

YoutubeのAPIを使用するための要件に変更があったのかな？？こちらを参考にされてください！